开口组平均值计算方法的探讨

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在市场调查过程中，我们经常用划分区间的方法来把调查对象进行分类。而在划分区间的时 候，我们又经常需要用到开口组，如测量月收入时用到的“500元以下”、“50000元以上”等等。这种分组测量的方法决定了在后期的数据处 理与分析过程中，特别是在求取样本均值时，我们需要计算每一区间的平均值。譬如，下表是我们为K市某传播媒体做调查时对样本的月收入所 做的统计。如果我们想了解一下K市的平均月收入情况，我们首先必须计算出每一区间的平均值，然后进行加权平均。

K市居民月收入情况

<><><>　　对于封闭组，如“1000―1500元”，其均值的计算是相当简单的，取该组组中值（=（该组上限+ 该组下限）/2）就可以了。如“1000―1500元”组的均值即为：（1500+1000）/2=1250元。
　　但是，对于开口组，如“500元以下”，由于缺乏组下限或者组上限，其均值计算又该如何进行呢？
　　传统的统计学方法是采用开口组组限加（减）邻组组距的一半来作为开口组的平均值，即：开口组的均值=该组上限（下限）-（+）（ 邻组组距）/2。如上例中月收入在“500元以下”的开口组的平均月收入就为：
　　（500－（1000－500）/2）＝250（元）
　　上述做法实际上是将开口组当作封闭组来处理，如“500元以下”实际上是看作“0―500元”。显然，这种处理方法隐含了两个假设前 提：其一是（0，500）间的任一值均有可能被取到，换句话说承认月收入为100元甚至0元的人（户）存在；其二是该组内人的月收入在该区间 均匀分布。
　　对于第二点，我们往往没有什么异议，这是分组处理的一个必要前提。但是对于第一点却值得商榷。因为对于月收入这类的变量来说 ，由于最低生活水平的限制，它肯定存在一个下限值，而往往不可能完全分布于整个区间，同时对于该类区间而言均匀分布的假设也具有更大 的“失真性”。所以，采用传统方法得到的均值比较粗糙，效果难以令人满意。那么，我们能否采用其它方法来计算呢？
　　实际中，我们采用了一种“直线外推法”来估算这类开口组的均值。这种方法的一个假设是：相邻组的中点是按同一斜率下降的。从 下图中我们可以看出，尽管相邻组的中点的连线的斜率有所变化，但这种变化还是可以接受的，所以，我们可以用相邻组的斜率来近似地估算 开口组平均值。下面我们将用两种方法计算的平均值作一对比。
　　用相邻组的中点连线的斜率进行“直线外推法”计算的结果为：

　　与传统方法的250元相比，参照K市的实际生活水平，显然这一均值更为实际、 合理一些。

　　另外，如果我们想进一步对计算结果作一横向比较，譬如，我们想比较一下不 同城市月收入最低的这一群体的平均水平的话，那么，用相邻区间跨度的一半计算的结果就无法满足我们的要求，因为计算的结果只与区间划 分的标准有关，只要各城市的划分标准相同，那么，这一群体的平均水平也就完全一样，显然，这是不符合实际情况的。而用相邻区间的中点 连线的斜率所求的结果就可以满足这一需要，因为用这种方法计算所得的结果不仅与区间划分标准有关，而且还与该子群出现的频数有关。因 为在计算过程中，它比另外一种方法包含了更多的信息，因而它的结果也就很自然的继承了这些信息。所以，从数据的信息含量的角度来看， 用“直线外推法”计算的结果要优于用相邻区间跨度的一半计算的结果。
　　 当然，这一方法在理论意义上还有待探讨，其实际应用也有诸多的限制。但作为一种对传统方法的改良或者突破，这种方法在一定的 条件下还是具有其自身的意义和应用价值的！